(05.03.2014) Numa equação algébrica normal, temos uma incógnita que queremos determinar, isto é, queremos achar um número (normalmente real ou complexo) que satisfaça a equação. Numa equação diferencial também queremos determinar uma incógnita, só que neste caso essa incógnita não é um número, mas sim uma função.
Uma equação diferencial relaciona uma função com as suas derivadas (de qualquer ordem). Um exemplo de equação diferencial é:
Uma função
que satisfaça aquela equação, isto é, uma função para a qual a equação acima seja verdadeira para todo o 
(ou para todo o no intervalo ![[a, b]](https://algol.fis.uc.pt/phpBB3/latexrender/pictures/022022f289db140169cd9514f74ee648.gif "[a, b]")
, se quisermos uma função que apenas satisfaça a equação nesse intervalo) é solução da equação.fonte:
http://algol.fis.uc.pt/quark/viewtopic.php?f=12&t=156
ver ainda
Introdução aos Sistemas Dinâmicos: uma abordagem prática com Maxima de Jaime Villate (02.02.2015)
Derivada
Definição:
Derivada de \(f(x)=\frac{f(x+\Delta x)-(f(x)}{\Delta x}\)
Exemplo, calcular a derivada de \(f(x)=x^2\)
Pela definição a Derivada de \(f(x)\) é:
\(f'=\frac{df}{dx}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}\)
\(\require{cancel}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cancel{x^2} +2x\Delta x + \Delta x^2 \cancel{-x^2}}{\Delta x}\)
\(=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{2x\Delta x + \Delta x^2 }{\Delta x}\)
\(=\lim_{\Delta x \to 0}(2x+\Delta x)\)=2x
então \( f'(x)=2x\) ou, moral da história se quiser saber o quanto a função \(f(x)=x^2\) varia por unidade de \(x\), é \(2x\)
Notação
\( \frac{df}{dx} ~~~~ \text{cálculo da derivada de forma genérica} \\
{df \abovewithdelims . | 1pt dx}_{a=0} ~ \text{cálculo da derivada num ponto específico} \)
da Wikipedia
Em diversos modelos matemáticos de fenômenos físicos, o tempo, que costuma ser a variável independente, varia continuamente. Assim, a variação é uma grandeza infinitesimal e as mudanças na variável dependente podem ser descritas por derivadas. Nesses casos, usamos as equações diferenciais para construir modelos matemáticos que descrevam melhor, em termos numéricos, um determinado fenômeno.
(ver Relação de Recorrência)
(24.01.16)
Interpretação da Tangente como linha paralela ao gráfico
(http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/Tangents_Rates.aspx)
... the line is a tangent line at the indicated point because it just touches the graph at that point and is also “parallel” to the graph at that point... we will think of a line and a graph as being parallel at a point if they are both moving in the same direction at that point
Ainda deste site, sobre notação:
...all of the following are equivalent and represent the derivative o \(f(x)\) with respect to \(x\)
$$ f'(x)=y'=\frac{df}{dx}= \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(f(x)) = \frac{d}{dx}(y) $$
"com respeito a \(x\)" fica mais evidente quando usado em derivadas parciais em que se toma uma variável, neste caso \(x\), como referência enquanto se mantém as outras fixas.
Ver
\(\vartriangleright \) MathJax basic tutorial and quick reference
\(\vartriangleright \) TEX Commands available in MathJax
(19.05.16)
... If you didn't study calculus, don't feel bad: the first derivative of a function is really just the best linear (line-segment) approximation to that function at each given point.
fonte: The Extended Kalman Filter: An Interactive Tutorial for Non-Experts. Part 16: Dealing with Nonlinearity
Integral
(29.01.15) Se uma torneira enche a uma taxa de \( 2x \), para saber quando vai encher toma-se a integral: \( x^2 \)
\( \int 2x\,dx=x^2 \)
\( 2x ~~ { \underrightarrow{\text{integral}} \atop \overleftarrow{\text{derivada}} } ~~ x^2 \)
(25.01.16)
link: https://en.wikipedia.org/wiki/Integral
The Notation
$$ \int f(x)\,dx $$
conceives the integral as a weighted sum, denoted by the elongated s, of function values, f(x), multiplied by infinitesimal step widths, the so-called differentials, denoted by dx. The multiplication sign is usually omitted.
Ou seja Integral é uma soma ponderada dos valores da função (\(f(x)\)) multiplicado por passos infinitesimais (\(dx\)). Ponderada porque cada parcela da soma (os retângulos de aproximação abaixo da curva da função) tem valores diferentes. \(dx\) representa a base do retângulo e \(f(x)\) a altura. O sinal de multiplicação entre \(f(x)\) e \(dx\) geralmente é omitido.
Um dica é entender \(dx\) como "fechamento de parentesis" da função a ser integrada, e o sinal da integral (\(\int\)) como abertura. Dica do site Tutor Math que tem uma boa introduçao a cálculo.
Leis de Potência
Diferença entre Distribuição Exponencial e Lei de Potência (distribuição livre de escala)
Ou
\(
\begin{align}
&y = x^{(\text{constant})} \tag{exponencial} \\
&y = {(\text{constant})}^x \tag{lei de potência}
\end{align}
\)
Esta é a diferença (ver)
A Hipótese de Riemann
(tradução da wikipedia)
sustenta que zeros não triviais da função zeta de Riemann, todos têm parte real 1/2.
A função zeta de Riemann Z(s) é uma função cujo argumento pode ser qualquer número complexo diferente de 1, e cujos valores também são complexos.
Ele tem zeros nos mesmos inteiros pares negativos, isto é, Z (s) = 0, quando s é um dos -2, -4, -6, .... Estes são chamados os zeros triviais.
No entanto, os mesmos números inteiros negativos não são os únicos valores para os quais a função zeta é zero; os outros são chamados de zeros não triviais. A hipótese de Riemann está preocupado com os locais desses zeros não triviais, e afirma que:
A parte real de todos os zeros não-triviais da função zeta de Riemann é 1/2.
Assim, os zeros não triviais devem recair sobre a linha crítica com os números complexos de 1/2 + ti, em que t é um número real e i é a unidade imaginária.
Do livro de Marcus du Saltoy A música dos Números Primos: Primos=Zeros=Ondas
Logaritmos
(20.01.2015) Logs "undo" exponentials
de http://www.purplemath.com/modules/logs.htm
(09.03.19)
Prosthaphaeresis era um algoritmo usado no final do século XVI e início do XVII para aproximar um produto usando fórmulas da trigonometria. 25 anos antes da invenção dos logaritmos, em 1614, esta era a única forma conhecida que podia ser largamente utilizada para aproximar o resultado de uma multiplicação rapidamente. (Wikipedia)
sobre o desenvolvimento dos logaritmos, geralmente atribuído a John Napier mas Jobst Bürgi descobriu de forma independente mas não publicou imediatamente. Antes deles Michael Stifel esbarrou no conceito de logaritmo ao perceber que os termos da PG \(1, r, r^2,r^3...,\) ou \(r^0, r^1, r^2,r^3...,\) correspondem aos termos da PA formadas pelos expoentes \(0,1,2,3...,\)
neste post tem os motivos de Napier usar valores altos para o calculo de suas tabelas https://goo.gl/6B3wYS
(27.07.2015) Logaritmos respondem a questão: quantas vezes devo multiplicar um número por ele mesmo para obter outro número? Ex. quantas vezes deve-se multiplicar o \(2\) para obter \(8\) ? a resposta é \(3\) vezes \((2*2*2)\) então \(log_2 8 = 3\)
A Hipótese de Riemann
(tradução da wikipedia)
sustenta que zeros não triviais da função zeta de Riemann, todos têm parte real 1/2.
A função zeta de Riemann Z(s) é uma função cujo argumento pode ser qualquer número complexo diferente de 1, e cujos valores também são complexos.
Ele tem zeros nos mesmos inteiros pares negativos, isto é, Z (s) = 0, quando s é um dos -2, -4, -6, .... Estes são chamados os zeros triviais.
No entanto, os mesmos números inteiros negativos não são os únicos valores para os quais a função zeta é zero; os outros são chamados de zeros não triviais. A hipótese de Riemann está preocupado com os locais desses zeros não triviais, e afirma que:
A parte real de todos os zeros não-triviais da função zeta de Riemann é 1/2.
Assim, os zeros não triviais devem recair sobre a linha crítica com os números complexos de 1/2 + ti, em que t é um número real e i é a unidade imaginária.
Do livro de Marcus du Saltoy A música dos Números Primos: Primos=Zeros=Ondas
Logaritmos
(20.01.2015) Logs "undo" exponentials
de http://www.purplemath.com/modules/logs.htm
(09.03.19)
Prosthaphaeresis era um algoritmo usado no final do século XVI e início do XVII para aproximar um produto usando fórmulas da trigonometria. 25 anos antes da invenção dos logaritmos, em 1614, esta era a única forma conhecida que podia ser largamente utilizada para aproximar o resultado de uma multiplicação rapidamente. (Wikipedia)
sobre o desenvolvimento dos logaritmos, geralmente atribuído a John Napier mas Jobst Bürgi descobriu de forma independente mas não publicou imediatamente. Antes deles Michael Stifel esbarrou no conceito de logaritmo ao perceber que os termos da PG \(1, r, r^2,r^3...,\) ou \(r^0, r^1, r^2,r^3...,\) correspondem aos termos da PA formadas pelos expoentes \(0,1,2,3...,\)
neste post tem os motivos de Napier usar valores altos para o calculo de suas tabelas https://goo.gl/6B3wYS
(27.07.2015) Logaritmos respondem a questão: quantas vezes devo multiplicar um número por ele mesmo para obter outro número? Ex. quantas vezes deve-se multiplicar o \(2\) para obter \(8\) ? a resposta é \(3\) vezes \((2*2*2)\) então \(log_2 8 = 3\)
outra forma de ver a questão é: \(2^?=8\) ou qual expoente nós precisamos para um número se tornar outro número?
Fonte
What is the intuition behind the logarithm?
Ver
Fonte
What is the intuition behind the logarithm?
Ver
===
\(\vartriangleright \) Demystifying the Natural Logarithm (ln)
deste texto:
\(e\) Se refere a crescimento. \(e^x\) é um fator de escala, mostra quanto de crescimento teriamos após \(x\) unidades de tempo.
Logaritmos Naturais se referem a tempo. O Logaritmo natural é o inverso do \(e\). Este inverso significa:
\(\vartriangleright \) Lei de Weber-Fechner sobre percepção numérica
(11/01/2018) Sobre o número \(e\)
\(e\) mostra-se sempre que os sistemas crescer exponencialmente e continuamente
Just like every number can be considered a scaled version of 1 (the base unit), every circle can be considered a scaled version of the unit circle (radius 1), and every rate of growth can be considered a scaled version of \(e\) (unit growth, perfectly compounded)
\(e\) representa a idéia que todo sistema de crescimento contínuo é uma versão em escala de uma taxa comum
Ver ainda o artigo What Are Logarithms? (by Robert Coolman), no tópico "Linear is taught; Logarithmic is instinctive" aparece um interessante estudo do pesquisador Stanislas Dehaene onde este afirma que em nossa intuição contamos logaritmicamente e não linearmente. Aprendemos a pensar de forma linear a medida que somos submetidos ao sistema moderno de ensino, baseado na característica linear da linha numérica (espaçados igualmente). Em crianças com idade pré-escolar ou mesmo adultos não submetidos a este sistema (como os indios munduruku da amazônia) a tendência é pensar em em escala logaritmica enfatizando mais a razão entre dois números do que a diferença entre eles.
\(\vartriangleright \) What number is halfway between 1 and 9? Is it 5 or 3?
\(\vartriangleright \) A Natural Log: Our Innate Sense of Numbers is Logarithmic, Not Linear
\(\vartriangleright \) Escalando números
\(\vartriangleright \) Addition Is Useless, Multiplication Is King: Channeling Our Inner Logarithm (17.05.17)
(25.04.2024)
Logaritmo é uma representação..
A logarithm is a representation of a power of 10
10 decibéis é 10 vezes mais forte.
20 decibéis é 100 vezes mais forte.
30 decibéis é 1000 vezes mais forte.
-10 decibéis é 1/10 da potência.
Sobre Teoria de grupos e simetria
em uma revisão sobre estes temas achei muita referencia a Felix klein, legal o livro
Elementary Mathematics From An Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis [1]
tambŕm o livro The Legacy of Felix Klein que peguei na Spring gratuitamente (VPN Ufsc) fala mais sobre a influência dele na educação.
dois textos lidos
Um Estudo sobre as Contribuições de Felix Klein para a Introdução das Transformações Geométricas nos Currículos Prescritos de Matemática do Ensino Fundamental
UMA NOTA SOBRE A TEORIA DOS GRUPOS : DA TEORIA DE G ALOIS À TEORIA DE GAUGE
\(\vartriangleright \) Demystifying the Natural Logarithm (ln)
deste texto:
\(e\) Se refere a crescimento. \(e^x\) é um fator de escala, mostra quanto de crescimento teriamos após \(x\) unidades de tempo.
Logaritmos Naturais se referem a tempo. O Logaritmo natural é o inverso do \(e\). Este inverso significa:
- \(e^x\) nos permite se conectar ao tempo e obter o crescimento. Após \(x\) de tempo temos tanto de crescimento.
- \(ln(x)\) nos permite se conectar ao crescimento e obtermos o tempo que seria necessário. Quanto tempo precisamos para obter o crescimento \(x\).
\(\vartriangleright \) Lei de Weber-Fechner sobre percepção numérica
(11/01/2018) Sobre o número \(e\)
\(e\) mostra-se sempre que os sistemas crescer exponencialmente e continuamente
Just like every number can be considered a scaled version of 1 (the base unit), every circle can be considered a scaled version of the unit circle (radius 1), and every rate of growth can be considered a scaled version of \(e\) (unit growth, perfectly compounded)
\(e\) representa a idéia que todo sistema de crescimento contínuo é uma versão em escala de uma taxa comum
Ver ainda o artigo What Are Logarithms? (by Robert Coolman), no tópico "Linear is taught; Logarithmic is instinctive" aparece um interessante estudo do pesquisador Stanislas Dehaene onde este afirma que em nossa intuição contamos logaritmicamente e não linearmente. Aprendemos a pensar de forma linear a medida que somos submetidos ao sistema moderno de ensino, baseado na característica linear da linha numérica (espaçados igualmente). Em crianças com idade pré-escolar ou mesmo adultos não submetidos a este sistema (como os indios munduruku da amazônia) a tendência é pensar em em escala logaritmica enfatizando mais a razão entre dois números do que a diferença entre eles.
\(\vartriangleright \) What number is halfway between 1 and 9? Is it 5 or 3?
\(\vartriangleright \) A Natural Log: Our Innate Sense of Numbers is Logarithmic, Not Linear
\(\vartriangleright \) Escalando números
\(\vartriangleright \) Addition Is Useless, Multiplication Is King: Channeling Our Inner Logarithm (17.05.17)
(25.04.2024)
Logaritmo é uma representação..
A logarithm is a representation of a power of 10
10 decibéis é 10 vezes mais forte.
20 decibéis é 100 vezes mais forte.
30 decibéis é 1000 vezes mais forte.
-10 decibéis é 1/10 da potência.
Sobre Teoria de grupos e simetria
em uma revisão sobre estes temas achei muita referencia a Felix klein, legal o livro
Elementary Mathematics From An Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis [1]
tambŕm o livro The Legacy of Felix Klein que peguei na Spring gratuitamente (VPN Ufsc) fala mais sobre a influência dele na educação.
dois textos lidos
Um Estudo sobre as Contribuições de Felix Klein para a Introdução das Transformações Geométricas nos Currículos Prescritos de Matemática do Ensino Fundamental
UMA NOTA SOBRE A TEORIA DOS GRUPOS : DA TEORIA DE G ALOIS À TEORIA DE GAUGE
[16/08/2021]
Do artigo O PRÊMIO NOBEL DE FÍSICA (PNF) DE 2008
José Maria Filardo Bassalo
Foi o químico e físico francês Pierre Curie o primeiro a introduzir a importância da simetria no estudo dos fenômenos físicos, ao afirmar que "são as assimetrias que possibilitam os fenômenos". Para ele, uma exata simetria da Natureza não poderia ser detectada, já que todos os pontos do Universo seriam indistinguíveis, e a probabilidade da realização de experiências seria a mesma. Por outro lado, ao fazer a distinção clara entre vetores polares e axiais, Pierre Curie percebeu a importância da Teoria de Grupos no estudo dos fenômenos físicos.
É oportuno esclarecer que, em Física, chama-se de simetria a toda transformação que leva um sistema físico a um outro que lhe seja equivalente, decorrendo daí uma invariância desse sistema. O conjunto de transformações de simetria forma um grupo.
Um dos primeiros grupos usados na Física foi o grupo de Galileu, nos quais ele mostrou, em 1638 ...que a velocidade (v) de um objeto em relação a um outro corpo em repouso é igual à velocidade (v') que ele tem em relação a um outro corpo que se desloca com velocidade constante (V) em relação ao corpo parado, acrescida dessa última velocidade, isto é: v = v' + V. Em linguagem atual, isso significa dizer que as leis da Mecânica são invariantes por uma transformação (grupo) de Galileu.
O estudo dos princípios de simetria e a aplicação da Teoria de Grupos aos sistemas de muitos-elétrons foi iniciado pelo físico húngaro norte-americano Eugene Paul Wigner...observando que a descrição de um fenômeno físico depende de suas condições iniciais. Desse modo, é a assimetria das condições iniciais que permite determinar as simetrias das leis da Natureza. A separação entre as condições iniciais e as leis da Natureza surge, naturalmente, quando se representa um fenômeno natural por intermédio de uma equação diferencial, já que, para resolvê-la, é necessário conhecer as condições iniciais. Daí o grande sucesso dos formalismos diferenciais no estudo dos fenômenos físicos.
Do artigo O PRÊMIO NOBEL DE FÍSICA (PNF) DE 2008
José Maria Filardo Bassalo
Foi o químico e físico francês Pierre Curie o primeiro a introduzir a importância da simetria no estudo dos fenômenos físicos, ao afirmar que "são as assimetrias que possibilitam os fenômenos". Para ele, uma exata simetria da Natureza não poderia ser detectada, já que todos os pontos do Universo seriam indistinguíveis, e a probabilidade da realização de experiências seria a mesma. Por outro lado, ao fazer a distinção clara entre vetores polares e axiais, Pierre Curie percebeu a importância da Teoria de Grupos no estudo dos fenômenos físicos.
É oportuno esclarecer que, em Física, chama-se de simetria a toda transformação que leva um sistema físico a um outro que lhe seja equivalente, decorrendo daí uma invariância desse sistema. O conjunto de transformações de simetria forma um grupo.
Um dos primeiros grupos usados na Física foi o grupo de Galileu, nos quais ele mostrou, em 1638 ...que a velocidade (v) de um objeto em relação a um outro corpo em repouso é igual à velocidade (v') que ele tem em relação a um outro corpo que se desloca com velocidade constante (V) em relação ao corpo parado, acrescida dessa última velocidade, isto é: v = v' + V. Em linguagem atual, isso significa dizer que as leis da Mecânica são invariantes por uma transformação (grupo) de Galileu.
O estudo dos princípios de simetria e a aplicação da Teoria de Grupos aos sistemas de muitos-elétrons foi iniciado pelo físico húngaro norte-americano Eugene Paul Wigner...observando que a descrição de um fenômeno físico depende de suas condições iniciais. Desse modo, é a assimetria das condições iniciais que permite determinar as simetrias das leis da Natureza. A separação entre as condições iniciais e as leis da Natureza surge, naturalmente, quando se representa um fenômeno natural por intermédio de uma equação diferencial, já que, para resolvê-la, é necessário conhecer as condições iniciais. Daí o grande sucesso dos formalismos diferenciais no estudo dos fenômenos físicos.
Links
[1] https://goo.gl/K5KdM8 (archive.org)
Transformada de Fourrier
(02.02.2015) ver Uma introdução à análise espectral de séries temporais econômicas
http://web.face.ufmg.br/face/revista/index.php/novaeconomia/article/view/2284
(27.07.2015) Sobre as Transformadas
Dada as Tranformadas (de Laplace, de Fourier) pergunta-se, o que é uma Transformada? Segundo Definição da Wikipedia trata-se de "uma transformada integral do tipo transformação linear".
"Historicamente, a origem das transformadas integrais remonta ao trabalho de Laplace sobre a teoria da probabilidade, La Théorie Analytique des Probabilities, na década de 1780. Nesse livro aparece a transformada de Laplace, que é, assim, a transformada mais antiga de todas. O próximo evento importante foi o tratado de Fourier, La Théorie Analytique de la Chaleur, de 1822."
Link
Transformada integral
Números Complexos
Tres formas de se representar
\begin{align*}
Sendo: \\
z = a+ib \tag{forma algébrica} \\
z = r(\cos(\theta)+i\sin(\theta)) \tag{forma polar ou trigonométrica} \\
z = r.e^{i\theta} \tag{forma exponencial} \\
\end{align*}
Do site Prandiano
a catenária é uma curva que se forma quando se suspende uma catena (corrente) ou um cabo qualquer
Este padrão de curva aparece frequentemente na natureza, por exemplo no ovo, daí sua resistência à compressão no sentido longitudinal, por este motivo é usado em contruções de arcos como pontes.
catenária = \( \cosh(x) \) = \( \frac{e^x + e^{-x}}{2}\)
clepsidra ou funil tem função \( \sqrt[4]{x} \) como característica tem um fluxo constante, que não forma vortices ou bolhas (??)
[1] https://goo.gl/K5KdM8 (archive.org)
Transformada de Fourrier
(02.02.2015) ver Uma introdução à análise espectral de séries temporais econômicas
http://web.face.ufmg.br/face/revista/index.php/novaeconomia/article/view/2284
(27.07.2015) Sobre as Transformadas
Dada as Tranformadas (de Laplace, de Fourier) pergunta-se, o que é uma Transformada? Segundo Definição da Wikipedia trata-se de "uma transformada integral do tipo transformação linear".
"Historicamente, a origem das transformadas integrais remonta ao trabalho de Laplace sobre a teoria da probabilidade, La Théorie Analytique des Probabilities, na década de 1780. Nesse livro aparece a transformada de Laplace, que é, assim, a transformada mais antiga de todas. O próximo evento importante foi o tratado de Fourier, La Théorie Analytique de la Chaleur, de 1822."
Link
Transformada integral
Números Complexos
Tres formas de se representar
\begin{align*}
Sendo: \\
z = a+ib \tag{forma algébrica} \\
z = r(\cos(\theta)+i\sin(\theta)) \tag{forma polar ou trigonométrica} \\
z = r.e^{i\theta} \tag{forma exponencial} \\
\end{align*}
Do site Prandiano
a catenária é uma curva que se forma quando se suspende uma catena (corrente) ou um cabo qualquer
catenária = \( \cosh(x) \) = \( \frac{e^x + e^{-x}}{2}\)
clepsidra ou funil tem função \( \sqrt[4]{x} \) como característica tem um fluxo constante, que não forma vortices ou bolhas (??)
