O problema da Basileia pelo que entendi foi inspirado por outro trabalho atribuido a Nicole Oresme, um padre que provou no século IV a divergência da série Harmônica ou seja que ao somar os elementos desta série nunca se chega a um valor exato.
Então uma nova dúvida, por que esta série (de Mengoli) é importante? O que faz dela tão especial a ponto de chamar a atenção de um matemático? por que a série $$ 1 + 12 + 123 + 1234 + 12345 + ... $$ (ou outra qualquer como esta que inventei agora) não é relevante?
O que posso imaginar é que algumas séries são importantes porque surgem na natureza, como a Série Harmônica: $$ 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... $$ por exemplo (retirado do livro) o violino reproduz todos os harmônicos respeitando estas relações matemáticas.
Outro exemplo encontrado na natureza é a Série de Fibonacci. Esta série inicia com os número 0 e 1, e cada novo termo é calculado como a soma dos dois números anteriore: $$ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ... $$
Uma forma interessante de representa-la é assim :
Que dá origem a Espiral de Fibonacci
Outras questões:
qual a importância das séries, de maneira geral? (a harmônica, de taylor, de fibonacci)
qual a série mais antiga conhecida?
ver Harmonic series
Historically, harmonic sequences have had a certain popularity with architects. This was so particularly in the Baroque period, when architects used them to establish the proportions of floor plans, of elevations, and to establish harmonic relationships between both interior and exterior architectural details of churches and palaces
Resumo da Função Zeta
(tradução The Riemann Hypothesis And The Roots Of The Riemann Zeta Function - google books)
A função Zeta é a soma infinita dos inversos (reciprocos) dos números naturais cada qual elevado a uma potência comun. A função Zeta tem sido analizada por pelo menos 650 anos. É representada como
$$ \zeta=\sum_{x=1}^\infty n^{-s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} $$
No ano de 1350 aproximadamente, Oresme provou que a função zeta diverge para s=1. A série de Oresme
$$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +... $$ é hoje conhecida como Série Harmônica. Em 1644, Mengoli colocou o problema indagando sobre a soma infinita dos reciprocos quadrados dos números naturais. Em notação atual o problema pergunta por uma expressão fechada para a função zeta com o argumento 2 ou
$$ \zeta(2)=1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} $$ Em 1656, Wallis mencionou o problema em seu livro "Infinitesimals" mas foi incapaz de soluciona-lo. O problema foi também analizado sem sucesso por Leibiniz, de Moavre, Stirling e os tres Bernoulis: Jacob, Johann e Daniel. Uma vez que a cidade dos Bernouli era a Basiléia o problema se tornou conhecido como o Problema da Basiléia. Ele permaneceu sem solução e crescendo em popularidade até 1735 quando Euler publicou a solução por 3 diferentes métodos, estabelecendo que $$ \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6} $$ igualando a soma infinita dos quadrados dos reciprocos dos números naturais com o quadrado da razão de uma circunferência por seu diâmetro dividido pelo inteiro seis. Euler passou a provar outros resultados, como
\( \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90} ~~~~~~ \zeta(6)=\frac{\pi^6}{945} ~~~~~~ \zeta(8)=\frac{\pi^8}{9450} ~~~~~~ \)... até \( \zeta(26) \)
Resumindo, dado o Problema da Basileia proposto por Pietro Mengoli, Euler solucionou usando a função Zeta, deste estudo Euler achou uma relação com os números primos, Riemann estendeu esta ligação introduzindo números complexos e o seu sobrenome na função Zeta, dando origem a Hipotese de Rieman. Lembrando que antes de Riemann um avanço significativo quanto ao entendimento dos números primos foi feito por Gauss.
A função zeta \(\zeta=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{s}} \) define uma familia de séries numéricas. Para \(s=1\) temos a Série Harmônica, para \(s=2\) se torna o Problema da Basileia, com \(s=número~complexos\) se torna o inicio do trabalho de Riemann
Ver pag. 90 para explicação sobre o Produto de Euler, os primos, e a conexão entre adição e multiplicação.
Por fim, ótimo livro, recomendo.
Alguns textos que consultei
How Euler discovered the zeta function (Keith Devlin)
Prehistory of the zeta function (Andre Weil) Não achei em nenhum lugar, parece ser legal
Supercomputers and The Riemann Zeta Function (A. M. Odlyzko)
An infinite series of surprises (C J Sangwin)
400 years of decimal fractions (Também não achei, parece ser legal)
The Riemann Hypothesis And The Roots Of The Riemann Zeta Function (Google Books)
Links
How was the importance of the zeta function discovered?
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)
http://en.wikipedia.org/wiki/Nicole_Oresme
http://pt.wikipedia.org/wiki/John_Wallis
