Estava lendo sobre decodificador morse, antes disso
A partir de um código na Internet [1], montei o arduino com um buzer para codificar mensagens morse a medida que fosse digitando no terminal serial. A idéia é usar com o kit radio transceptor CW Pixie comprado na china, eu digito, o arduino codifica em morse, que vai para o radio que transmite na faixa de 40m. Para o sinal recebido pelo radio pensei num decodificador morse.
Lendo sobre o assunto achei uma discussão interessante em um site [2] onde é explicado alguns detalhes técnicos, como "implementar algum tipo de algoritmo para detectar a presença ou auxência da frequência portadora" (carrier frequency) e como interpretar a mensagem usando o algoritmo de Goertzel. Em certo momento é feita referência a Transformada Discreta de Fourrier (Discrete Fourier Transform - DFT) com o link para um livro online [3].
Lendo a introdução do livro achei interessante a contextualização da técnica DFT. O autor explica que ela é uma alternativa a idéia original que se chama Transformada de Fourrier. A diferença é que a Transformada de Fourrier é formulada como uma Integral, contínua no tempo, enquanto que a DFT substitui esta integral por uma soma finita. Ou Seja DFT não usa o Calculo para sua definição. Como em Processamento Digital de Sinais se considera somente a amostragem de um sinal, esta tácnica se mostra mais adequada.
Em resumo "DFT é mais simples matematicamente e relevante computacionalmente que a Transformada de Fourier... ao mesmo tempo que os conceitos básicos são os mesmos". Por sua vez a técnica de DFT tem vários algoritmos, exemplos são o FFT (Fast Fourrier Transform) e o próprio Goertzel.
Pesquisando mais sobre a Transformada de Fourrier achei um texto [4] onde o autor relaciona esta transformada com a função delta de Dirac (\(\delta\)), achei curioso e fui atraz pois conhecia Dirac de outras leituras em Física. Da wikipedia: "A função Delta de Dirac ou função impulso é a representação matemática para uma força intensa que atua em um ponto em um curto intervalo de tempo". Sobre a função Delta entendi, em outro texto [5] que possui as seguintes propriedades:
\( \delta(x)=0 ~~~~se~~ x\ne0\)
\( \delta(0)=\infty \)
\( \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) dx = 1\)
Segundo o texto [5] e o vídeo [6] (vi até o 11º minuto) esta "função" não se encaixa em uma definição tradicional de função Integral. Como pode a integral ser igual a \(1\) se no ponto \(x=0\) ela vai ao infinito? (legal também a visão que o texto [5] dá ao fazer referência a dois tipos de teoria da integração, de Riemann e Lebesque, afirmando que este último é inclusive, muito mais rica)
Coube a Laurent Schwartz resolver o impasse quando propôs a Teoria das Distribuições. (Coincidência que foi esse Schwartz que eu pesquisei um tempo atraz quando estava lendo sobre séries, motivado pelas aulas do Leonel quando ele usava a Série de Taylor para resolver algumas equações. É aquele se piscando todo no video do YouTube)
No trabalho de Schwartz o termo função foi generalizado para o termo distribuição. Assim uma distribuição manipula determinadas singularidades - ponto no qual um dado objeto matemático não é definido, ou bem comportado, (como disse o vídeo, quando não se sabe o que fazer, se generaliza..) Por exemplo a função
\(f(x)=\frac{1}{x}\)
tem uma singularidade quando \(x=0\), (o que se faz? não está definido)
O Delta de Dirac é assim uma singularidade sendo tratada portanto como uma distribuição. Na prática (da Wikipedia) "A função Delta de Dirac ou função impulso é a representação matemática para uma força intensa que atua em um ponto em um curto intervalo de tempo."
(Wikipedia)
No contexto da DFT se tira que o Delta de Dirac representa os pontos do sinal amostrado. Eu já tinha lido sobre a Transformada de Fourrier antes, mas nunca havia menção a esta assunto.
(Wikipedia)
Por fim para decodificar sinal CW pode ser usado o
fldigi.
Links
[1] http://denverdias.com/2012/03/31/morse-code-gen
[2] http://ham.stackexchange.com/questions/2202/decoding-the-morse-code
[3] Mathematics Of The Discrete Fourier Transform
https://ccrma.stanford.edu/~jos/st/Introduction_DFT.html
[4] Transformada Discreta de Fourier: Motivações e Aplicações
http://www.cnpq.br/documents/10157/9fe4bbf5-0bfe-4d3f-b9bb-17f9b827e228
[5] A função delta de Dirac
http://www.sbm.org.br/docs/coloquios/SE2-06.pdf
[6] Cursos Unicamp - Cálculo III - Função Impulso; Delta de Dirac-Parte 1
https://www.youtube.com/watch?v=-81_31633gQ
Outros Textos Consultados
[7] Teoria das Distribuições
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_das_distribuições
[8] Singularidade matemática
https://pt.wikipedia.org/wiki/Singularidade_matemática
[9] Delta de Dirac
https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac
