Conceito de complemento de um número
quanto cada algarismo precisa para chegar ao máximo número de uma determinada base. Exemplo
47 seu complemento => 52 (4 para 9 => 5, 7 para 9 => 2)
Cálculo em Complemento
uma subtração é o mesmo que a soma de seu complemento, adicionado em 1, descartando o digito mais a esquerda
Ex.:
78-47 = 78+52 (complemento de 47 => 52)
= 78+52 = 130+1 = 131 descarta o dígito mais a esquerda (1) fica 31
resposta 78-47=31
Cálculo em Complemento de 2 (base 2)
mesmo princípio mas com complemento em binário
complemento em binário inverte-se cada bit
exemplo complemento de 100110 = 011001
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quinta-feira, 18 de junho de 2020
segunda-feira, 16 de dezembro de 2019
Frequência e cristal
Porque a frequência de 32768Hz (\(2^{15} \)) é usado em cristais?
Na verdade pode ser qualquer valor superior a 20000, que é o limite audível do ouvido humano. Abaixo de 20k Hz ouviríamos alguma coisa. A partir deste cristal é possível usar flip-flops para fazer a divisão desta frequência em valores menores até 1hz por exemplo, usado em relógios digitais.
Mas porque (\(2^{15} \))? porque é o primeiro expoente da base 2 que retorna um número acima de 20000 (\(2^{14} = 16384\)). E base dois porque é fácil usar flip-flops para fazer um divisor de frequência. O circuito integrado 4060 se presta a este objetivo.
show
daqui
How a quartz watch works - its heart beats 32,768 times a second
domingo, 27 de outubro de 2019
Relação entre Dados e Espaços de Muitas dimensões
Lendo o livro (Elementos-da-teoria-de-aprendizagem-de-maquina-supervisionada) do grupo de aprendizado de máquina de Florianópolis ministrada pelo russo, achei uma recomendação legal, Foundations of Data Science - Avrim Blum, John Hopcroft and Ravindran Kannan
Gostei da introdução, exemplo quando fala sobre Geometria de Alta dimensão:
... Modern data indiverse fields such as Information Processing, Search, Machine Learning, etc., is oftenrepresented advantageously as vectors with a large number of components. This is soeven in cases when the vector representation is not the natural first choice...
esta citação é da versão de 2016, achei melhor que a definição da versão 2019 do livro.
A introdução dos dois livros são muito boas.
Outro livro citado foi The Nature of Statistical Learning Theory de Vladimir Vapnik, li um pedaço da introdução, também muito interessante, ele faz um resgate sobre o problema de aprendizagem e divide o tema em quatro períodos:
- O Perceptron de Rosenblatt (1960)
- Construção dos fundamentos da teoria do aprendizado (1960-70)
- Redes Neurais (1980)
- Retorno as origens (1990)
Gostei da introdução, exemplo quando fala sobre Geometria de Alta dimensão:
... Modern data indiverse fields such as Information Processing, Search, Machine Learning, etc., is oftenrepresented advantageously as vectors with a large number of components. This is soeven in cases when the vector representation is not the natural first choice...
esta citação é da versão de 2016, achei melhor que a definição da versão 2019 do livro.
A introdução dos dois livros são muito boas.
Outro livro citado foi The Nature of Statistical Learning Theory de Vladimir Vapnik, li um pedaço da introdução, também muito interessante, ele faz um resgate sobre o problema de aprendizagem e divide o tema em quatro períodos:
- O Perceptron de Rosenblatt (1960)
- Construção dos fundamentos da teoria do aprendizado (1960-70)
- Redes Neurais (1980)
- Retorno as origens (1990)
quarta-feira, 2 de outubro de 2019
Carga Elétrica
Texto achado em um txt aqui
Carga Elétrica - medida dem Coulomb é quantidade de eletricidade negativa ou positiva depositada em um corpo. A menor medida mensurável de carga é aquela carregada por um elétron (-e) onde e=1.602x10^-19 C
domingo, 21 de julho de 2019
Ótimos vídeos de física
Vídeos sobre Física
Portal de Videoaulas
Universidade Federal Fluminense
http://www.videoaulas.uff.br/taxonomy_vtn/term/87
Exemplo
[Termodinâmica] Cap 1.03 - Termômetros, dilatação, escalas Celsius e Kelvin, lei dos gases ideais
https://www.youtube.com/watch?time_continue=2&v=G3u_kBOcZhg
...modos de medir a temperatura
por dilatação
por resistencia
a gas (a pressao constanta ou volume cte)
- termometro de mercurio
problema: não se dilata uniformemente por exemplo em um intervalo de 0 a 10
por exemplo se comparar com termometro a alcool, os dois não dilatam igualmente aologo do percurso
- termometro a gas a baixa densidade
permanece o volume fixo, mede-se a pressão com a mudança da temperatura
a baixa densidade porque nesta condição todos gases se comportam de maneira extremamente simples
logo não apresemtam o problema de dilatação desuniforme
...constante de boltzman... um número de conversão entre uma grandeza medida em kelvin em outra medida em jaule
(entre temperatura e energia) ou seja temperatura tem alguma coisa a ver com energia
Eletromagnetismo Cap 1.01 - Introdução: Lei de Coulomb, lei de Gauss (forma integral)
https://www.youtube.com/watch?time_continue=360&v=EBjib5ABsM0
teoria eletromagnetica é resumida em 4 leis, as leis de Maxwell e cada lei tem um nome particular, a primeira é a lei de Gauss (uma sofisticação da lei de Coulomb)
... Lei de Coulomb a mais fundamental da teoria eletromagnetica (lei do inverso do quadrado da distância)
lei de Coulomb que esta por tráz da lei de Gauss
Ousadia: a teoria eletromagneica é toda baseada na lei de coulomb mais o princípio da relatividade
com a lei de coulomb e com o pricípio da relatividade se consegue inferir o campo magnéticoi
...campo elétrico... uma sofisticação que parte da lei de Coulomb, se controi o CE para descrever as interações, as forças
..obs não se cria CE só com carga, pode ser criada tb com variação de campo magnético, que é uma outra lei da teoria
Portal de Videoaulas
Universidade Federal Fluminense
http://www.videoaulas.uff.br/taxonomy_vtn/term/87
Exemplo
[Termodinâmica] Cap 1.03 - Termômetros, dilatação, escalas Celsius e Kelvin, lei dos gases ideais
https://www.youtube.com/watch?time_continue=2&v=G3u_kBOcZhg
...modos de medir a temperatura
por dilatação
por resistencia
a gas (a pressao constanta ou volume cte)
- termometro de mercurio
problema: não se dilata uniformemente por exemplo em um intervalo de 0 a 10
por exemplo se comparar com termometro a alcool, os dois não dilatam igualmente aologo do percurso
- termometro a gas a baixa densidade
permanece o volume fixo, mede-se a pressão com a mudança da temperatura
a baixa densidade porque nesta condição todos gases se comportam de maneira extremamente simples
logo não apresemtam o problema de dilatação desuniforme
...constante de boltzman... um número de conversão entre uma grandeza medida em kelvin em outra medida em jaule
(entre temperatura e energia) ou seja temperatura tem alguma coisa a ver com energia
Eletromagnetismo Cap 1.01 - Introdução: Lei de Coulomb, lei de Gauss (forma integral)
https://www.youtube.com/watch?time_continue=360&v=EBjib5ABsM0
teoria eletromagnetica é resumida em 4 leis, as leis de Maxwell e cada lei tem um nome particular, a primeira é a lei de Gauss (uma sofisticação da lei de Coulomb)
... Lei de Coulomb a mais fundamental da teoria eletromagnetica (lei do inverso do quadrado da distância)
lei de Coulomb que esta por tráz da lei de Gauss
Ousadia: a teoria eletromagneica é toda baseada na lei de coulomb mais o princípio da relatividade
com a lei de coulomb e com o pricípio da relatividade se consegue inferir o campo magnéticoi
...campo elétrico... uma sofisticação que parte da lei de Coulomb, se controi o CE para descrever as interações, as forças
..obs não se cria CE só com carga, pode ser criada tb com variação de campo magnético, que é uma outra lei da teoria
quarta-feira, 3 de julho de 2019
Sobre senos, cosenos e radiano, de novo..
Porque se divide o cateto oposto (CO) pela hipotenusa (H) para obter o seno? Ou o cateto adjacente (CA) pela H para calcular o coseno
porque, uma vez que o círculo unitário tem raio 1, os valores dos catetos devem ser normalizados... como H é o maior segmento de um triângulo retângulo ao fazer a divisão os valores dos catetos (que não estão normalizados, ou seja <1) se transformam em valores entre 0 e 1 (se normalizam). Caso os dados estejam normalizados a Hipotenusa=1 então:
seno=CO/1=CO (ou seja seno é o CO)
da mesma forma
coseno=CA/1=CA (ou seja coseno é o CA)
eu ja tinha visto que seno é o mesmo cateto oposto, mas me perguntava porque que a definição é CO/H, que é mais dificil. É muito mais facil e intuitivo dizer que o "seno é um segmento de reta" mas isto é valido apenas quando o raio é 1... blz
E porque radianos são importantes? porque são números (reais)...! cacilda
quando se usa graus, este valores não são números reais ("números com virgula"), logo não faz sentido a equação
y=45°/sen 45°
45° aqui é uma medida de ângulo, não faz sentido dividir este valor pelo resultado de sen 45° (que é ~0.7)
y=0.785rad/sen0.785 rad faz sentido porque numerador e denominador agora são números reais (45°=0.75rad)
do Livro
Programação de Jogos Android - Edgard B.Damiani
porque, uma vez que o círculo unitário tem raio 1, os valores dos catetos devem ser normalizados... como H é o maior segmento de um triângulo retângulo ao fazer a divisão os valores dos catetos (que não estão normalizados, ou seja <1) se transformam em valores entre 0 e 1 (se normalizam). Caso os dados estejam normalizados a Hipotenusa=1 então:
seno=CO/1=CO (ou seja seno é o CO)
da mesma forma
coseno=CA/1=CA (ou seja coseno é o CA)
eu ja tinha visto que seno é o mesmo cateto oposto, mas me perguntava porque que a definição é CO/H, que é mais dificil. É muito mais facil e intuitivo dizer que o "seno é um segmento de reta" mas isto é valido apenas quando o raio é 1... blz
E porque radianos são importantes? porque são números (reais)...! cacilda
quando se usa graus, este valores não são números reais ("números com virgula"), logo não faz sentido a equação
y=45°/sen 45°
45° aqui é uma medida de ângulo, não faz sentido dividir este valor pelo resultado de sen 45° (que é ~0.7)
y=0.785rad/sen0.785 rad faz sentido porque numerador e denominador agora são números reais (45°=0.75rad)
do Livro
Programação de Jogos Android - Edgard B.Damiani
domingo, 10 de março de 2019
Discussão sobre o Limite Fundamental Trigonométrico
do video Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral - 02.04.2016 - parte 3
prof. Cláudio Possani - Colegio Leonardo de Jundiai
tem uma discussão sobre o Limite Fundamental Trigonométrico, foi este a razão histórica da invanção dos radianos...
\(=\lim_{t \to 0}\frac{sen(t) }{t}=1\) mas este limite só é 1 em radianos...
O radiano foi inventado no renascimento por causa do cálculo... depois de 1650
é pos isso que na trigonometria derrepente muda para adianos .. pq a trig. esta migrando parao cálculo, e em cálculo tudo é em radianos, por conta dessa derivadas
\(=\lim_{t \to 0}\frac{sen(t) }{t}=1\)
ver ótima explicação de radianos no Betre Explained, tem versão emportugues
Guia Intuitivo para os Ângulos, Graus e Radianos
https://goo.gl/qbPcs9
prof. Cláudio Possani - Colegio Leonardo de Jundiai
tem uma discussão sobre o Limite Fundamental Trigonométrico, foi este a razão histórica da invanção dos radianos...
\(=\lim_{t \to 0}\frac{sen(t) }{t}=1\) mas este limite só é 1 em radianos...
O radiano foi inventado no renascimento por causa do cálculo... depois de 1650
é pos isso que na trigonometria derrepente muda para adianos .. pq a trig. esta migrando parao cálculo, e em cálculo tudo é em radianos, por conta dessa derivadas
\(=\lim_{t \to 0}\frac{sen(t) }{t}=1\)
ver ótima explicação de radianos no Betre Explained, tem versão emportugues
Guia Intuitivo para os Ângulos, Graus e Radianos
https://goo.gl/qbPcs9
Sobre funções exponenciais
do video Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral - 02.04.2016 - parte 3
prof. Cláudio Possani - Colegio Leonardo de Jundiai
(11:30)
de onde vem a imporancia das funçõa exponenciais tipo f(x)=a^x:
derivada é taxa de variação (quanto que varia uma grandeza)
ao observar o mundo físico(ao se estudar fenomenos reais): se observa que
-> grtandezas em que a variação da grandeza é proporcional a propria grandeza
isto é muito frequente na natureza, coisas em que a variação de um fenomeo, depende
do quanto aquele fenomeno já existe
ex.:
1) Medicos estudando epideomologia, pessoas passa para pessoas
a avariação de pessoas infectadas, de pende do quanto já tem
quanto mais pessoas infectadas, mais contatos uma com as outras, logo mais infecções
ou seja o fenomeno cresce, quando cresce o nº pessoas infectadas
ou, a velocidade de propagação da doença, aumenta quando tem muita gente infectada
(a taxa de variação é maior pq a população infectada é maior-> taxa de variação é
derivada, população é a função)
neste caso para os médicos que estudam propagação de doenças interessa as funções cuja
derivada é proporcional a propria função => que é a função exponencial..
não é uma função x^2 ou x^3
2) Crecimento de popuilação mesma coisa (maior a população, mais encontros=>mais acasalamentos)
quanto maior a população mais a taxa de crecimento cresce
3) Decaimento radioativo: maior a qtdade de material radioativo=> maior a taxa de emissão
de particulas radioativas, e maior é a taxa de decaimento (porque esta emitindo mais) e a medida
que vai diminuindo vai emitindo menos
é um monte de fenomenos emque a derivada é proporcional a função
prof. Cláudio Possani - Colegio Leonardo de Jundiai
(11:30)
de onde vem a imporancia das funçõa exponenciais tipo f(x)=a^x:
derivada é taxa de variação (quanto que varia uma grandeza)
ao observar o mundo físico(ao se estudar fenomenos reais): se observa que
-> grtandezas em que a variação da grandeza é proporcional a propria grandeza
isto é muito frequente na natureza, coisas em que a variação de um fenomeo, depende
do quanto aquele fenomeno já existe
ex.:
1) Medicos estudando epideomologia, pessoas passa para pessoas
a avariação de pessoas infectadas, de pende do quanto já tem
quanto mais pessoas infectadas, mais contatos uma com as outras, logo mais infecções
ou seja o fenomeno cresce, quando cresce o nº pessoas infectadas
ou, a velocidade de propagação da doença, aumenta quando tem muita gente infectada
(a taxa de variação é maior pq a população infectada é maior-> taxa de variação é
derivada, população é a função)
neste caso para os médicos que estudam propagação de doenças interessa as funções cuja
derivada é proporcional a propria função => que é a função exponencial..
não é uma função x^2 ou x^3
2) Crecimento de popuilação mesma coisa (maior a população, mais encontros=>mais acasalamentos)
quanto maior a população mais a taxa de crecimento cresce
3) Decaimento radioativo: maior a qtdade de material radioativo=> maior a taxa de emissão
de particulas radioativas, e maior é a taxa de decaimento (porque esta emitindo mais) e a medida
que vai diminuindo vai emitindo menos
é um monte de fenomenos emque a derivada é proporcional a função
quarta-feira, 5 de dezembro de 2018
Boa introdução ao Algoritmo RSA
Entendendo (de verdade) a criptografia RSA
Achei uma boa apresentação da aritmética modular e porque de seu uso.
Encontrei o link a partir da sequência de leituras:
1. Sliding Right into Information Theory no Planet Debian (by Joachim Breitner )
2. Sliding right into disaster: Left-to-right sliding windows leak - Artigo
3. Analysis of Sliding Window Techniques for Exponentiation - Artigo
O artigo 2 é referenciado no post do Debian Planet. Lendo este artigo fui atrás do termo Sliding Window Techniques que é uma tecnica para calcular a potência de um número (x^E) com expoente gigante (E) sendo E inteiro e positivo, usado no algoritmo RSA.O algoritmo é descrito no artigo 3.
Outros termos pesquisados
- Exponentiation by squaring
[12.02.2019]
Gerar o hash de uma letra
echo -n "a" | md5sum
o "-n" elimina a nova linha adicionada pelo comando echo, o que altera a saída do comando md5sum
ver Why does `md5sum` not give the same hash as the Internet does?
DRfddSufdi8PR6Wj8Bj1c71x8rxP3Gewna (DOGE)
16FFpSdBThTKrQv4miBso8DrDRocyXjwft (bitcoin BTC)
45nCBgYZHHz83U4tdnxAfm4w4KGgs4f8XL9wbcPX8QZTMvExysktkD598NuDfLPEmXfSNvhu58CsBTfWofXj2TgR3WfTX3m (Monero XMR)
0x8C095453569A443ef8B854B5BaA0000b347d9803 (Ethereum ETH)
RChBPGktHhEPsCBRH6Yzr4Higq7fPr5a6d (Ravecoin RVN)
0x8C095453569A443ef8B854B5BaA0000b347d9803 (Shiba)
terça-feira, 2 de outubro de 2018
Cadeia de Markov explicação Interativa
Ótima expçicação do site Explained Visually
Markov Chains
http://setosa.io/ev/markov-chains/
Legal de ver também do mesmo site
Eigenvectors and Eigenvalues
Principal Component Analysis
Eigenvectors and Eigenvalues
Image Kernels (usado na extração de características em imagens)
[24.10.2121]
Deep Learning with Tensorflow 2.0
sobre Eigendecomposition - eigenvectors e eigenvalues.
assim como decompomos um número 12 como 2*2*3
pode-se decompor uma matriz em eigenvectors e eigenvalues.
Um eigenvector (autovetor) de uma matriz quadrada A é um vetor diferente de zero v tal que a multiplicação por A altera apenas a escala de v, em suma, este é um vetor especial que não muda a direção da matriz quando aplicado a ele:
Av=λv
A escala (o escalar) λ é conhecida como o autovalor correspondente a este autovetor.
Determinante
O determinante de uma matriz quadrada, denotado det (A), é uma função que mapeia matrizes para escalares reais.
==>>> The determinant is equal to the product of all the eigenvalues of the matrix.
sexta-feira, 6 de abril de 2018
Exemplo de Uso com FFT
Multiplicação de inteiros com FFT
Como é que isto se faz? (https://blol.org/94-multiplicacao-com-fft)
1 - Transformar os números a multiplicar num polinómio, escolhendo uma base apropriada (e.g. 10, 16, 2^32, etc).
2 - Calcular a DFT de ambos, através do uso de uma FFT. (Não é necessário ser estritamente a FFT, qualquer convolução em teoria dá.) [interessante]
3 - Multiplicar ponto a ponto ao longo do array obtido (multiplicação diádica).
4 - Calcular a DFT inversa do resultado.
5 - Avaliar o polinómio para obter o número final.
do site LeGauss
entendimento passa pela Matriz de Vandermonde (é uma matriz em que os termos de cada linha estão em progressão geométrica, ela surge naturalmente do problema de interpolação polinomial.)
mais ou menos assim (da wikipedia Algoritmo Schönhage-Strassen)
para multiplicar 147 e 258 (em decimal), serão realizadas as seguintes operações:
Representação de 147 como x^2+4x+7 e 258 - como 2x^2+5x+8, onde x = 10.
Multiplique polinômios x^2+4x+7 e 2x^2+5x+8 usando a transformada rápida de Fourier. Obter o produto dos polinômios 2x4+13x^3+42x^2+67x+56.
Ao fazer transferências entre as fileiras, temos 3x4+7x^3+9x^3+2x+6., ou seja, 37.926.
interpolar - método que permite construir um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos (wikipedia)
interolação polinomial - dado um conjunto de dados (pontos) achar um polinomio que passe por estes pontos
Como é que isto se faz? (https://blol.org/94-multiplicacao-com-fft)
1 - Transformar os números a multiplicar num polinómio, escolhendo uma base apropriada (e.g. 10, 16, 2^32, etc).
2 - Calcular a DFT de ambos, através do uso de uma FFT. (Não é necessário ser estritamente a FFT, qualquer convolução em teoria dá.) [interessante]
3 - Multiplicar ponto a ponto ao longo do array obtido (multiplicação diádica).
4 - Calcular a DFT inversa do resultado.
5 - Avaliar o polinómio para obter o número final.
do site LeGauss
entendimento passa pela Matriz de Vandermonde (é uma matriz em que os termos de cada linha estão em progressão geométrica, ela surge naturalmente do problema de interpolação polinomial.)
mais ou menos assim (da wikipedia Algoritmo Schönhage-Strassen)
para multiplicar 147 e 258 (em decimal), serão realizadas as seguintes operações:
Representação de 147 como x^2+4x+7 e 258 - como 2x^2+5x+8, onde x = 10.
Multiplique polinômios x^2+4x+7 e 2x^2+5x+8 usando a transformada rápida de Fourier. Obter o produto dos polinômios 2x4+13x^3+42x^2+67x+56.
Ao fazer transferências entre as fileiras, temos 3x4+7x^3+9x^3+2x+6., ou seja, 37.926.
interpolar - método que permite construir um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos (wikipedia)
interolação polinomial - dado um conjunto de dados (pontos) achar um polinomio que passe por estes pontos
quinta-feira, 5 de abril de 2018
Algumas anotações sobre análise de Séries Temporais
Análise de Séries Temporais
do artigo
A comprehensive beginner’s guide to create a Time Series Forecast
https://www.analyticsvidhya.com/blog/2016/02/time-series-forecasting-codes-python/|https://www.analyticsvidhya.com/blog/2016/02/time-series-forecasting-codes-python
Muitos modelos de análise partem do princípio que uma ST é estacionária
Como checar se uma ST é estacionária?
analisando suas propriedades estatísticas: se a média e a variância permanecem constantes no tempo
Idéia geral: se uma ST tem um comportamento particular no tempo, há uma alta probabilidade que ela seguirá a mesma no futuro.
Teste de estacionariedade:
- Plotar a série temporal e ver graficamente tendências e sazonalidades
- plotar a média móvel (ou variância móvel) e ver se varia ao longo do tempo, estes valores não tendem a aumentar em uma ST estacionária
- teste de Dickey-Fuller
Como tornar uma série estacionária?
uma vez que:
Como estimar e eliminar trends?
com transformações, exemplo: log ou raiz quadrada
mas em presença de ruído talvez não seja tão intuitivo, então se usa outras técnicas uma delas é a tecnica de Alisamento (smoothing) da ST para isto toma-se a Média Móvel
do artigo
How to Use Power Transforms for Time Series Forecast Data with Python
https://machinelearningmastery.com/power-transform-time-series-forecast-data-python/|https://machinelearningmastery.com/power-transform-time-series-forecast-data-python
Square Root Transform
A time series that has a quadratic growth trend can be made linear by taking the square root
sendo a estrutura dos dados de natureza quadrática, com tendência ao crescimento neste caso, para fazer uma análise é importante que se tranforme esta ST em linear (onde a média e a variância não se alteram...) isto é feito com a operação inverça à operação quadrática que é a raiz quadrada.
o mesmo para transformação log, se os dados tem uma natureza exponencial ao longo do tempo, aplicando a invesa desta operação (log <=> exp) a série torna-se linear
Log Transform
A class of more extreme trends are exponential, often graphed as a hockey stick.
Time series with an exponential distribution can be made linear by taking the logarithm of the values. This is called a log transform.
pergunta a exclarecer, por falta de tempo
a final porque tranformar uma ST para linear? Linearidade é sinônimo de estacionário? (onde média e variância são constantes)
do artigo
A comprehensive beginner’s guide to create a Time Series Forecast
https://www.analyticsvidhya.com/blog/2016/02/time-series-forecasting-codes-python/|https://www.analyticsvidhya.com/blog/2016/02/time-series-forecasting-codes-python
Muitos modelos de análise partem do princípio que uma ST é estacionária
Como checar se uma ST é estacionária?
analisando suas propriedades estatísticas: se a média e a variância permanecem constantes no tempo
Idéia geral: se uma ST tem um comportamento particular no tempo, há uma alta probabilidade que ela seguirá a mesma no futuro.
Teste de estacionariedade:
- Plotar a série temporal e ver graficamente tendências e sazonalidades
- plotar a média móvel (ou variância móvel) e ver se varia ao longo do tempo, estes valores não tendem a aumentar em uma ST estacionária
- teste de Dickey-Fuller
Como tornar uma série estacionária?
uma vez que:
- Tendência: variação da média no tempo (ex: em média o número x está crescendo no tempo..)
- Sazonalidade: variações em frames de tempo específicos
Como estimar e eliminar trends?
com transformações, exemplo: log ou raiz quadrada
mas em presença de ruído talvez não seja tão intuitivo, então se usa outras técnicas uma delas é a tecnica de Alisamento (smoothing) da ST para isto toma-se a Média Móvel
do artigo
How to Use Power Transforms for Time Series Forecast Data with Python
https://machinelearningmastery.com/power-transform-time-series-forecast-data-python/|https://machinelearningmastery.com/power-transform-time-series-forecast-data-python
Square Root Transform
A time series that has a quadratic growth trend can be made linear by taking the square root
sendo a estrutura dos dados de natureza quadrática, com tendência ao crescimento neste caso, para fazer uma análise é importante que se tranforme esta ST em linear (onde a média e a variância não se alteram...) isto é feito com a operação inverça à operação quadrática que é a raiz quadrada.
o mesmo para transformação log, se os dados tem uma natureza exponencial ao longo do tempo, aplicando a invesa desta operação (log <=> exp) a série torna-se linear
Log Transform
A class of more extreme trends are exponential, often graphed as a hockey stick.
Time series with an exponential distribution can be made linear by taking the logarithm of the values. This is called a log transform.
pergunta a exclarecer, por falta de tempo
a final porque tranformar uma ST para linear? Linearidade é sinônimo de estacionário? (onde média e variância são constantes)
quinta-feira, 2 de março de 2017
Derivadas, de novo
Nesta imagem que percebi dois tipos de declive na definição de derivadas, dy/dx e Δy/Δx
Lembrando a definição de Derivadas
imagens retiradas do site O Baricentro da Mente
Descrição
dy/dx : is the gradient of the tangent at a point on the curve y=f(x)
Δy/Δx : is the gradient of a line through two points on the curve y=f(x)
∂y/∂x is the gradient of the tangent through a point on the surface y=f(x,z,...) in the direction of the x axis.
Sobre Gradiente "variação de uma grandeza" segundo a etimologia da palavra
Link
Algumas Observações Sobre a Notação de Derivada
Derivada, usando a definição de limite
physicsforums.com
origemdapalavra.com.br
(03.04.17)
bom material sobre derivadas parciais, gradiente e backpropagation
http://cs231n.github.io/optimization-2/
(05.03.18)
Interssante introdução ao cálculo usando computação analógica
site allaboutcircuits.com
Textbook Lessons in Electric Circuits
Vol. III - Semiconductors Practical Analog Semiconductor Circuits
Computational Circuits
Chapter 9 - Practical Analog Semiconductor Circuits
(10.03.19)
significado geométrico da derivada: coeficiente angular da reta tangente
A derivada afinal, dá o coeficiente angular da reta tangente a determinado ponto de uma função genérica qualquer
Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral - 02.04.2016 - parte 1
por Cláudio Possani
Derivadas
processo de calcular a derivada em funções de velocidade: dada a função S(t)
que dá a posição de uma particula em determinado tempo.
Ao cacular a derivada de S(t) se recebe a velocidade
ou, a velcidade é a derivada da posição.
Então com derivadas se consegue isso
se consegue calcular velocidades a partir de posições.
ouutro caso
Se considerar (iniciar com) velocidade no ligar da posição, se obterm a variação da velocidade
em função do tempo, que é a aceleração. Resumindo, tendo a função velocidade
ao derivar se chega na aceleração
a ideia de derivada se aplica a qualquer movimento, não necessáriamente a MUV
esta era o olhar de Newtom, que ele chamava de fluxo (fluxões), um olhar físico
mas esta idéia se aplica a outras situações, por ex.
no contexto geométrico, de reta tangente a uma curva.
por algum motivo se estuda o conceito de tangente a uma curva
é um problema complexo em matemática
no estudo de derivadas e integrais se estuda apenas curvas de funções
então dado uma função como achar a tangente em um determinado ponto desta função?
é preciso para isto o coeficiente angular da equação da resta desta tangente
como achar?
usando uma reta secante se acha facil
basta a reta secante tender a reta tangente, em um proicesso de limite
ponto final - ponto inicial em y / ponto final - ponto inicial em y
ou
f(x1)-f(x0)
------------
x1 - x0
moral da história, é o mesmo processo de calcular a derivada
em funções de velocidade: dada a função S(t) que dá a posição de uma particula
em determinado tempo. Ao cacular a derivada de S(t) se recebe a velocidade
ou a velcidade é a derivada da posição. Então com derivadas se consegue isso
se consegue calcular velocidades a partir de posições.
Resumindo, são 3 contextos
para posição deu velocidade
para velocidade deu aceleração
e para uma função genérica dá o coeficiente angular da tangente
por isto o lhar de atenção às derivadas elas tem um papel importente
pois a ideia de taxa de variação está presente em um onte de assuntos relevantes
se f(x) é a população -> se olha a taxa de natalidade, taxa de crescimento de população
se f(x) mede preços, se vê variação de preços no tempo - inflação para os economistas
Notação:
f'(x0)
ou
df
--(x0)
dx
Lembrando a definição de Derivadas
imagens retiradas do site O Baricentro da Mente
Descrição
dy/dx : is the gradient of the tangent at a point on the curve y=f(x)
Δy/Δx : is the gradient of a line through two points on the curve y=f(x)
∂y/∂x is the gradient of the tangent through a point on the surface y=f(x,z,...) in the direction of the x axis.
Sobre Gradiente "variação de uma grandeza" segundo a etimologia da palavra
Link
Algumas Observações Sobre a Notação de Derivada
Derivada, usando a definição de limite
physicsforums.com
origemdapalavra.com.br
(03.04.17)
bom material sobre derivadas parciais, gradiente e backpropagation
http://cs231n.github.io/optimization-2/
(05.03.18)
Interssante introdução ao cálculo usando computação analógica
site allaboutcircuits.com
Textbook Lessons in Electric Circuits
Vol. III - Semiconductors Practical Analog Semiconductor Circuits
Computational Circuits
Chapter 9 - Practical Analog Semiconductor Circuits
(10.03.19)
significado geométrico da derivada: coeficiente angular da reta tangente
A derivada afinal, dá o coeficiente angular da reta tangente a determinado ponto de uma função genérica qualquer
Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral - 02.04.2016 - parte 1
por Cláudio Possani
Derivadas
processo de calcular a derivada em funções de velocidade: dada a função S(t)
que dá a posição de uma particula em determinado tempo.
Ao cacular a derivada de S(t) se recebe a velocidade
ou, a velcidade é a derivada da posição.
Então com derivadas se consegue isso
se consegue calcular velocidades a partir de posições.
ouutro caso
Se considerar (iniciar com) velocidade no ligar da posição, se obterm a variação da velocidade
em função do tempo, que é a aceleração. Resumindo, tendo a função velocidade
ao derivar se chega na aceleração
a ideia de derivada se aplica a qualquer movimento, não necessáriamente a MUV
esta era o olhar de Newtom, que ele chamava de fluxo (fluxões), um olhar físico
mas esta idéia se aplica a outras situações, por ex.
no contexto geométrico, de reta tangente a uma curva.
por algum motivo se estuda o conceito de tangente a uma curva
é um problema complexo em matemática
no estudo de derivadas e integrais se estuda apenas curvas de funções
então dado uma função como achar a tangente em um determinado ponto desta função?
é preciso para isto o coeficiente angular da equação da resta desta tangente
como achar?
usando uma reta secante se acha facil
basta a reta secante tender a reta tangente, em um proicesso de limite
ponto final - ponto inicial em y / ponto final - ponto inicial em y
ou
f(x1)-f(x0)
------------
x1 - x0
moral da história, é o mesmo processo de calcular a derivada
em funções de velocidade: dada a função S(t) que dá a posição de uma particula
em determinado tempo. Ao cacular a derivada de S(t) se recebe a velocidade
ou a velcidade é a derivada da posição. Então com derivadas se consegue isso
se consegue calcular velocidades a partir de posições.
Resumindo, são 3 contextos
para posição deu velocidade
para velocidade deu aceleração
e para uma função genérica dá o coeficiente angular da tangente
por isto o lhar de atenção às derivadas elas tem um papel importente
pois a ideia de taxa de variação está presente em um onte de assuntos relevantes
se f(x) é a população -> se olha a taxa de natalidade, taxa de crescimento de população
se f(x) mede preços, se vê variação de preços no tempo - inflação para os economistas
Notação:
f'(x0)
ou
df
--(x0)
dx
quarta-feira, 25 de janeiro de 2017
Ótima introdução ao Backpropagation
Introduz backpropagation a partir do uso de Derivada Parciais em grafos.
Calculus on Computational Graphs: Backpropagation
(03.04.17)
http://cs231n.github.io/optimization-2
Yes you should understand backprop
Mais um [14.05.17]
http://daniel-at-world.blogspot.com.br/2017/02/ai-implement-your-own-automatic.html
Outro [06/12/2017]
https://medium.com/@karpathy/yes-you-should-understand-backprop-e2f06eab496b
Calculus on Computational Graphs: Backpropagation
(03.04.17)
http://cs231n.github.io/optimization-2
Yes you should understand backprop
Mais um [14.05.17]
http://daniel-at-world.blogspot.com.br/2017/02/ai-implement-your-own-automatic.html
Outro [06/12/2017]
https://medium.com/@karpathy/yes-you-should-understand-backprop-e2f06eab496b
sábado, 12 de março de 2016
Links IPython Notebook
Sound Analysis with the Fourier Transform and Python
https://github.com/calebmadrigal/FourierTalkOSCON
interessante o capítulo 05_Rotation With E
A Crash Course in Python for Scientists
http://nbviewer.jupyter.org/gist/rpmuller/5920182
Lectures on scientific computing with Python
https://github.com/jrjohansson/scientific-python-lectures
A gallery of interesting IPython Notebooks
https://github.com/ipython/ipython/wiki/A-gallery-of-interesting-IPython-Notebooks
nbviewer/Jupyter
http://nbviewer.jupyter.org/
Differential Equations in Data Science
http://blog.urx.com/urx-blog/differential-equations-in-data-science
terça-feira, 23 de fevereiro de 2016
Bom Livro
The Nature of Code
Daniel Shiffman
http://natureofcode.com/book/chapter-3-oscillation/
Achei ao estudar trigonometria, são exemplos em Processing. Tem outros bons exemplos
Também Legal
Trigonometry for Game Programming: Part 1/2
Sin & Cos: The Programmer's Pals!
domingo, 20 de setembro de 2015
Morse Pixie Fourier Dirac
Estava lendo sobre decodificador morse, antes disso
A partir de um código na Internet [1], montei o arduino com um buzer para codificar mensagens morse a medida que fosse digitando no terminal serial. A idéia é usar com o kit radio transceptor CW Pixie comprado na china, eu digito, o arduino codifica em morse, que vai para o radio que transmite na faixa de 40m. Para o sinal recebido pelo radio pensei num decodificador morse.
Lendo sobre o assunto achei uma discussão interessante em um site [2] onde é explicado alguns detalhes técnicos, como "implementar algum tipo de algoritmo para detectar a presença ou auxência da frequência portadora" (carrier frequency) e como interpretar a mensagem usando o algoritmo de Goertzel. Em certo momento é feita referência a Transformada Discreta de Fourrier (Discrete Fourier Transform - DFT) com o link para um livro online [3].
Lendo a introdução do livro achei interessante a contextualização da técnica DFT. O autor explica que ela é uma alternativa a idéia original que se chama Transformada de Fourrier. A diferença é que a Transformada de Fourrier é formulada como uma Integral, contínua no tempo, enquanto que a DFT substitui esta integral por uma soma finita. Ou Seja DFT não usa o Calculo para sua definição. Como em Processamento Digital de Sinais se considera somente a amostragem de um sinal, esta tácnica se mostra mais adequada.
Em resumo "DFT é mais simples matematicamente e relevante computacionalmente que a Transformada de Fourier... ao mesmo tempo que os conceitos básicos são os mesmos". Por sua vez a técnica de DFT tem vários algoritmos, exemplos são o FFT (Fast Fourrier Transform) e o próprio Goertzel.
Pesquisando mais sobre a Transformada de Fourrier achei um texto [4] onde o autor relaciona esta transformada com a função delta de Dirac (\(\delta\)), achei curioso e fui atraz pois conhecia Dirac de outras leituras em Física. Da wikipedia: "A função Delta de Dirac ou função impulso é a representação matemática para uma força intensa que atua em um ponto em um curto intervalo de tempo". Sobre a função Delta entendi, em outro texto [5] que possui as seguintes propriedades:
\( \delta(x)=0 ~~~~se~~ x\ne0\)
\( \delta(0)=\infty \)
\( \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) dx = 1\)
Segundo o texto [5] e o vídeo [6] (vi até o 11º minuto) esta "função" não se encaixa em uma definição tradicional de função Integral. Como pode a integral ser igual a \(1\) se no ponto \(x=0\) ela vai ao infinito? (legal também a visão que o texto [5] dá ao fazer referência a dois tipos de teoria da integração, de Riemann e Lebesque, afirmando que este último é inclusive, muito mais rica)
Coube a Laurent Schwartz resolver o impasse quando propôs a Teoria das Distribuições. (Coincidência que foi esse Schwartz que eu pesquisei um tempo atraz quando estava lendo sobre séries, motivado pelas aulas do Leonel quando ele usava a Série de Taylor para resolver algumas equações. É aquele se piscando todo no video do YouTube)
No trabalho de Schwartz o termo função foi generalizado para o termo distribuição. Assim uma distribuição manipula determinadas singularidades - ponto no qual um dado objeto matemático não é definido, ou bem comportado, (como disse o vídeo, quando não se sabe o que fazer, se generaliza..) Por exemplo a função
\(f(x)=\frac{1}{x}\)
tem uma singularidade quando \(x=0\), (o que se faz? não está definido)
O Delta de Dirac é assim uma singularidade sendo tratada portanto como uma distribuição. Na prática (da Wikipedia) "A função Delta de Dirac ou função impulso é a representação matemática para uma força intensa que atua em um ponto em um curto intervalo de tempo."
No contexto da DFT se tira que o Delta de Dirac representa os pontos do sinal amostrado. Eu já tinha lido sobre a Transformada de Fourrier antes, mas nunca havia menção a esta assunto.
Por fim para decodificar sinal CW pode ser usado o fldigi.
Links
[1] http://denverdias.com/2012/03/31/morse-code-gen
[2] http://ham.stackexchange.com/questions/2202/decoding-the-morse-code
[3] Mathematics Of The Discrete Fourier Transform
https://ccrma.stanford.edu/~jos/st/Introduction_DFT.html
[4] Transformada Discreta de Fourier: Motivações e Aplicações
http://www.cnpq.br/documents/10157/9fe4bbf5-0bfe-4d3f-b9bb-17f9b827e228
[5] A função delta de Dirac
http://www.sbm.org.br/docs/coloquios/SE2-06.pdf
[6] Cursos Unicamp - Cálculo III - Função Impulso; Delta de Dirac-Parte 1
https://www.youtube.com/watch?v=-81_31633gQ
Outros Textos Consultados
[7] Teoria das Distribuições
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_das_distribuições
[8] Singularidade matemática
https://pt.wikipedia.org/wiki/Singularidade_matemática
[9] Delta de Dirac
https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac
A partir de um código na Internet [1], montei o arduino com um buzer para codificar mensagens morse a medida que fosse digitando no terminal serial. A idéia é usar com o kit radio transceptor CW Pixie comprado na china, eu digito, o arduino codifica em morse, que vai para o radio que transmite na faixa de 40m. Para o sinal recebido pelo radio pensei num decodificador morse.
Lendo sobre o assunto achei uma discussão interessante em um site [2] onde é explicado alguns detalhes técnicos, como "implementar algum tipo de algoritmo para detectar a presença ou auxência da frequência portadora" (carrier frequency) e como interpretar a mensagem usando o algoritmo de Goertzel. Em certo momento é feita referência a Transformada Discreta de Fourrier (Discrete Fourier Transform - DFT) com o link para um livro online [3].
Lendo a introdução do livro achei interessante a contextualização da técnica DFT. O autor explica que ela é uma alternativa a idéia original que se chama Transformada de Fourrier. A diferença é que a Transformada de Fourrier é formulada como uma Integral, contínua no tempo, enquanto que a DFT substitui esta integral por uma soma finita. Ou Seja DFT não usa o Calculo para sua definição. Como em Processamento Digital de Sinais se considera somente a amostragem de um sinal, esta tácnica se mostra mais adequada.
Em resumo "DFT é mais simples matematicamente e relevante computacionalmente que a Transformada de Fourier... ao mesmo tempo que os conceitos básicos são os mesmos". Por sua vez a técnica de DFT tem vários algoritmos, exemplos são o FFT (Fast Fourrier Transform) e o próprio Goertzel.
Pesquisando mais sobre a Transformada de Fourrier achei um texto [4] onde o autor relaciona esta transformada com a função delta de Dirac (\(\delta\)), achei curioso e fui atraz pois conhecia Dirac de outras leituras em Física. Da wikipedia: "A função Delta de Dirac ou função impulso é a representação matemática para uma força intensa que atua em um ponto em um curto intervalo de tempo". Sobre a função Delta entendi, em outro texto [5] que possui as seguintes propriedades:
\( \delta(x)=0 ~~~~se~~ x\ne0\)
\( \delta(0)=\infty \)
\( \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) dx = 1\)
Segundo o texto [5] e o vídeo [6] (vi até o 11º minuto) esta "função" não se encaixa em uma definição tradicional de função Integral. Como pode a integral ser igual a \(1\) se no ponto \(x=0\) ela vai ao infinito? (legal também a visão que o texto [5] dá ao fazer referência a dois tipos de teoria da integração, de Riemann e Lebesque, afirmando que este último é inclusive, muito mais rica)
Coube a Laurent Schwartz resolver o impasse quando propôs a Teoria das Distribuições. (Coincidência que foi esse Schwartz que eu pesquisei um tempo atraz quando estava lendo sobre séries, motivado pelas aulas do Leonel quando ele usava a Série de Taylor para resolver algumas equações. É aquele se piscando todo no video do YouTube)
No trabalho de Schwartz o termo função foi generalizado para o termo distribuição. Assim uma distribuição manipula determinadas singularidades - ponto no qual um dado objeto matemático não é definido, ou bem comportado, (como disse o vídeo, quando não se sabe o que fazer, se generaliza..) Por exemplo a função
\(f(x)=\frac{1}{x}\)
tem uma singularidade quando \(x=0\), (o que se faz? não está definido)
O Delta de Dirac é assim uma singularidade sendo tratada portanto como uma distribuição. Na prática (da Wikipedia) "A função Delta de Dirac ou função impulso é a representação matemática para uma força intensa que atua em um ponto em um curto intervalo de tempo."
(Wikipedia)
(Wikipedia)
Por fim para decodificar sinal CW pode ser usado o fldigi.
Links
[1] http://denverdias.com/2012/03/31/morse-code-gen
[2] http://ham.stackexchange.com/questions/2202/decoding-the-morse-code
[3] Mathematics Of The Discrete Fourier Transform
https://ccrma.stanford.edu/~jos/st/Introduction_DFT.html
[4] Transformada Discreta de Fourier: Motivações e Aplicações
http://www.cnpq.br/documents/10157/9fe4bbf5-0bfe-4d3f-b9bb-17f9b827e228
[5] A função delta de Dirac
http://www.sbm.org.br/docs/coloquios/SE2-06.pdf
[6] Cursos Unicamp - Cálculo III - Função Impulso; Delta de Dirac-Parte 1
https://www.youtube.com/watch?v=-81_31633gQ
Outros Textos Consultados
[7] Teoria das Distribuições
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_das_distribuições
[8] Singularidade matemática
https://pt.wikipedia.org/wiki/Singularidade_matemática
[9] Delta de Dirac
https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac
segunda-feira, 10 de agosto de 2015
terça-feira, 28 de julho de 2015
Sobre a Teoria da Informação
retalhos recolhidos da web
...Raciocinio básico e primeiro da Teoria da Informação: a relação entre recorrência (portanto probabilidade) e quantidadede de informação.
Recorrência aqui no exemplo da letra "e" no código Morse, por ser a letra mais usada no idioma inglês atribuiu-se a codificação "." (ponto) a ela, ou seja a recorrência (probabilidde) desta letra neste idioma é maior.
Segundo Wiener, "a soma de informação em um sistema é a medida de seu grau de organização; de seu grau de desorganização; um é o negativo do outro".
a expressão "um é o negativo do outro" remete a cologaritmos
colog x = log 1/x ou log a^-1 ou ainda pelas propriedades -log x
tradução de parte do livro SYMBOLS, SIGNALS AND NOISE de J.R.PIERCE
em fisica, entropia está associada com a possibilidade de converter energia termica em energia mecânica... se a entropia aumenta, a energia disponível diminui. A mecânica estatística interpreta um aumento da entropia como um decrescimo na Ordem (disposição, arrumação), ou se preferirmos, em uma diminuição de nosso conhecimento...
A quantidade de informação transmitida pela mensagem aumenta à medida que a quantidade de incerteza quanto ao que mensagem realmente será produzido se torna maior. (A quantidade de informação transmitida pela mensagem aumenta à medida que a quantidade de incerteza se torna maior.) ... A entropia na teoria da informação é uma medida dessa incerteza... e a incerteza, ou entropia, é tomado como a medida da quantidade de informação transportada por uma mensagem de uma fonte. Quanto mais se sabe sobre que mensagem a fonte vai produzir, menor é a incerteza, menor a entropia, e menor é a informação.
ex. quando se olha uma paisgem, no primeiro momento leva tempo para assimilar todos os detalhes, muita informação (maior a incerteza- do que se esta vendo) assim maior é a entropia
está correto este exemplo? Li num site "Então alta Entropia significa baixa informação. " contradiz meu exemplo. Neste memo site tem uma imagem interessante.
Aqui se faz o cálculo da Entropia (h(pi)) de cada letra do alfabeto dada sua probabilidade (pi) na lingua inglesa. Notar a entropia da letra "e" (3.5), menor de todas significando uma maior probabilidade de aparecer o que de fato é verdade ser esta letra a mais usada em ingles, como citado no início
Fazendo a pesquisa achei um texto legal, segue uma parte :
...A análse de Fourier ...está montada, na verdade, na hipótese que os sistemas descritos tenham a característica peculiar de serem lineares.
link
https://www.ift.unesp.br/br/Home/extensao/historia2.pdf
...Raciocinio básico e primeiro da Teoria da Informação: a relação entre recorrência (portanto probabilidade) e quantidadede de informação.
Recorrência aqui no exemplo da letra "e" no código Morse, por ser a letra mais usada no idioma inglês atribuiu-se a codificação "." (ponto) a ela, ou seja a recorrência (probabilidde) desta letra neste idioma é maior.
Segundo Wiener, "a soma de informação em um sistema é a medida de seu grau de organização; de seu grau de desorganização; um é o negativo do outro".
a expressão "um é o negativo do outro" remete a cologaritmos
colog x = log 1/x ou log a^-1 ou ainda pelas propriedades -log x
tradução de parte do livro SYMBOLS, SIGNALS AND NOISE de J.R.PIERCE
em fisica, entropia está associada com a possibilidade de converter energia termica em energia mecânica... se a entropia aumenta, a energia disponível diminui. A mecânica estatística interpreta um aumento da entropia como um decrescimo na Ordem (disposição, arrumação), ou se preferirmos, em uma diminuição de nosso conhecimento...
A quantidade de informação transmitida pela mensagem aumenta à medida que a quantidade de incerteza quanto ao que mensagem realmente será produzido se torna maior. (A quantidade de informação transmitida pela mensagem aumenta à medida que a quantidade de incerteza se torna maior.) ... A entropia na teoria da informação é uma medida dessa incerteza... e a incerteza, ou entropia, é tomado como a medida da quantidade de informação transportada por uma mensagem de uma fonte. Quanto mais se sabe sobre que mensagem a fonte vai produzir, menor é a incerteza, menor a entropia, e menor é a informação.
ex. quando se olha uma paisgem, no primeiro momento leva tempo para assimilar todos os detalhes, muita informação (maior a incerteza- do que se esta vendo) assim maior é a entropia
está correto este exemplo? Li num site "Então alta Entropia significa baixa informação. " contradiz meu exemplo. Neste memo site tem uma imagem interessante.
Fazendo a pesquisa achei um texto legal, segue uma parte :
...A análse de Fourier ...está montada, na verdade, na hipótese que os sistemas descritos tenham a característica peculiar de serem lineares.
link
https://www.ift.unesp.br/br/Home/extensao/historia2.pdf
sábado, 21 de março de 2015
Sobre a Série de Taylor
Resumir
http://mathwiki.ucdavis.edu/Calculus/Series/Taylor_Expansion
do Livro Introduction to Numerical Methods in Differential Equations (05.04.15)
Taylor’s Theorem
The single most important result needed to develop finite difference approximations is Taylor’s theorem. Given its role, it is odd, or at least the author thinks it is odd, that web sites listing the top 100 theorems in mathematics almost inevitably have Taylor’s theorem toward the middle of the list. This is a serious misjudgment, because it should easily make anyone’s top 10!
http://mathwiki.ucdavis.edu/Calculus/Series/Taylor_Expansion
do Livro Introduction to Numerical Methods in Differential Equations (05.04.15)
Taylor’s Theorem
The single most important result needed to develop finite difference approximations is Taylor’s theorem. Given its role, it is odd, or at least the author thinks it is odd, that web sites listing the top 100 theorems in mathematics almost inevitably have Taylor’s theorem toward the middle of the list. This is a serious misjudgment, because it should easily make anyone’s top 10!
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