Derivadas, de novo

Nesta imagem que percebi dois tipos de declive na definição de derivadas, dy/dx e Δy/Δx

Lembrando a definição de Derivadas

imagens retiradas do site O Baricentro da Mente

Descrição
dy/dx : is the gradient of the tangent at a point on the curve y=f(x)
Δy/Δx : is the gradient of a line through two points on the curve y=f(x)
∂y/∂x is the gradient of the tangent through a point on the surface y=f(x,z,...) in the direction of the x axis.

Sobre Gradiente "variação de uma grandeza" segundo a etimologia da palavra


Link
Algumas Observações Sobre a Notação de Derivada
Derivada, usando a definição de limite
physicsforums.com
origemdapalavra.com.br

(03.04.17)
bom material sobre derivadas parciais, gradiente e backpropagation
http://cs231n.github.io/optimization-2/

(05.03.18)
Interssante introdução ao cálculo usando computação analógica
site allaboutcircuits.com
Textbook  Lessons in Electric Circuits
Vol. III - Semiconductors Practical Analog Semiconductor Circuits
Computational Circuits
Chapter 9 - Practical Analog Semiconductor Circuits

(10.03.19)
significado geométrico da derivada: coeficiente angular da reta tangente

A derivada afinal, dá o coeficiente angular da reta tangente a determinado ponto de uma função genérica qualquer
Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral - 02.04.2016 - parte 1
por Cláudio Possani

Derivadas
processo de calcular a derivada em funções de velocidade: dada a função S(t)
que dá a posição de uma particula em determinado tempo.
Ao cacular a derivada de S(t) se recebe a velocidade
ou, a velcidade é a derivada da posição.

Então com derivadas se consegue isso
se consegue calcular velocidades a partir de posições.
ouutro caso
Se considerar (iniciar com) velocidade no ligar da posição, se obterm a variação da velocidade
em função do tempo, que é a aceleração. Resumindo, tendo a função velocidade
ao derivar se chega na aceleração
a ideia de derivada se aplica a qualquer movimento, não necessáriamente a MUV
esta era o olhar de Newtom, que ele chamava de fluxo (fluxões), um olhar físico

mas esta idéia se aplica a outras situações, por ex.
no contexto geométrico, de reta tangente a uma curva.
por algum motivo se estuda o conceito de tangente a uma curva
é um problema complexo em matemática
no estudo de derivadas e integrais se estuda apenas curvas de funções
então dado uma função como achar a tangente em um determinado ponto desta função?
é preciso para isto o coeficiente angular da equação da resta desta tangente
como achar?
usando uma reta secante se acha facil
basta a reta secante tender a reta tangente, em um proicesso de limite
ponto final - ponto inicial em y / ponto final - ponto inicial em y
ou

f(x1)-f(x0)     
------------    
  x1 - x0

moral da história, é o mesmo processo de calcular a derivada
em funções de velocidade: dada a função S(t) que dá a posição de uma particula
em determinado tempo. Ao cacular a derivada de S(t) se recebe a velocidade
ou a velcidade é a derivada da posição. Então com derivadas se consegue isso
se consegue calcular velocidades a partir de posições.

Resumindo, são 3 contextos
para posição deu velocidade
para velocidade deu aceleração
e para uma função genérica dá o coeficiente angular da tangente

por isto o lhar de atenção às derivadas elas tem um papel importente
pois a ideia de taxa de variação está presente em um onte de assuntos relevantes
se f(x) é a população -> se olha a taxa de natalidade, taxa de crescimento de população
se f(x) mede preços, se vê variação de preços no tempo - inflação para os economistas

Notação:
f'(x0)

ou

df
--(x0)
dx